[]
soru ve çözümü
ne soruyu anladım ne de çözümü anladım. bir el atsanız? çözerken niye her tarafı 19 ile topladı? 60arlı iki grup ne? 120 sayı ne? ne lan bunlar? soruda anlatılmak istenen ne onu söyleyin bi kere önce.
Soru: Alican'ın 100 çikolatası vardır. Alican bu çikolataları hergün en az 1 tane yiyerek 2 ayda(60 gün) bitimiştir. Alican'ın bu 60 gün içinde tam olarak 19 çikolata yediği kesintisiz bir zaman dilimi (kesintisizden kasıt ardışık günler topluluğu örneğin 3. ve 14. günlerin arasındaki tüm günler) olduğunu gösteriniz.
çözüm:
Ai alicanın i. gün sonunda yediği çikolata sayısını gösterelim.
her gün en az 1 tane yediğinden
1<=A1<A2<A3<…….<A59<A60=100 olduğunu biliyoruz
ayrıca
20<=A1+19<A2+19<A3+19<.....<A59+19<A60+19=119 da yazabiliriz
şimdi elimizde 60arlı grup halinde 120 sayı var(gruplar kendi içinde aynı sayıyı içermiyor) ve bu sayılar 1 ile 119 arasıda değerler alabiliyor. öyleyse bu sayılardan en az 2 tanesi aynı değerleri almak zorundadır.
yani Ai=Aj+19 olan i ve j sayıları olmalıdır.
öyleyse j. ve i. gün arasındaki ardışık günlerde Alican tam olarak 19 çikileta yemiştir.
Soru: Alican'ın 100 çikolatası vardır. Alican bu çikolataları hergün en az 1 tane yiyerek 2 ayda(60 gün) bitimiştir. Alican'ın bu 60 gün içinde tam olarak 19 çikolata yediği kesintisiz bir zaman dilimi (kesintisizden kasıt ardışık günler topluluğu örneğin 3. ve 14. günlerin arasındaki tüm günler) olduğunu gösteriniz.
çözüm:
Ai alicanın i. gün sonunda yediği çikolata sayısını gösterelim.
her gün en az 1 tane yediğinden
1<=A1<A2<A3<…….<A59<A60=100 olduğunu biliyoruz
ayrıca
20<=A1+19<A2+19<A3+19<.....<A59+19<A60+19=119 da yazabiliriz
şimdi elimizde 60arlı grup halinde 120 sayı var(gruplar kendi içinde aynı sayıyı içermiyor) ve bu sayılar 1 ile 119 arasıda değerler alabiliyor. öyleyse bu sayılardan en az 2 tanesi aynı değerleri almak zorundadır.
yani Ai=Aj+19 olan i ve j sayıları olmalıdır.
öyleyse j. ve i. gün arasındaki ardışık günlerde Alican tam olarak 19 çikileta yemiştir.
Soruda verilenleri yorumlarsak; burada her gün en az bir tane çikolata yediği için toplamda yenilen çikolata sayısı hergün artmakta ve 60 gün sonunda bu sayı kesinlikle 100 olmaktadır.
1<=A1<A2<A3<…….<A59<A60=100 bu denklem yukarıda belirtilen durumu açıklıyor.
Burada eğer 19 tane çikolata yenen seri varsa, örneğin 12. ve 23. günler arası diyelim (A23-A12) nin 19 olacağı aşikardır. Bizden istenen bunun kesin doğru olup olmadığı...
Yukardaki örnekten devam edersek eğer A12 gibi bir sayı varsa bu sayıya 19 eklenince bu sayı A23'e dönüşmelidir. Tüm ifadeye 19 eklersek
20<=A1+19<A2+19<A3+19<.....<A59+19<A60+19=119 denklemi oluşur.
Burada daha iyi görülmesi için
A1+19=B1, A2+19=B2, .... A60+19=B60 yazarsak
20<=B1<B2<B3<.....<B59<B60=119 elde ederiz.
Bu dizi ile başlangıçta elimizde bulunan 1<=A1<A2<A3<…….<A59<A60=100 dizisine baktığımızda toplamda 120 adet sayı var(A1...A60 ve B1...B60) ve bu 120 sayı 1 den 119 a kadar bir aralığa serpilmiş(A lar 1 den başlıyor B ler 119 da bitiyor). Bu durumda en az bir sayı iki kere geçiyor demektir(1 den 119 a kadar 120 sayı seçmenizi istersem mutlaka bir sayıyı iki kez seçmek zorunda kalırsınız).
Tekrarlanan sayı aynı dizi içinde olamaz çümkü hergün 1 çikolata yeme zorunluluğu olduğundan farklı iki günün A değeri eşit olamaz(zaten denklemde de eşitlik olmadığı görülüyor). Bu durumda A dizisinden ve B dizisinden birer sayı birbirine eşit olmalıdır. Yani A dizisinde bir elemana 19 ekledim ve yine A dizisinin elemanı olan bir değerle karşılaştım. Dolayısıyla 19'luk kesintisiz bir seri mutlaka vardır. Umarım anlatabilmişimdir :)
1<=A1<A2<A3<…….<A59<A60=100 bu denklem yukarıda belirtilen durumu açıklıyor.
Burada eğer 19 tane çikolata yenen seri varsa, örneğin 12. ve 23. günler arası diyelim (A23-A12) nin 19 olacağı aşikardır. Bizden istenen bunun kesin doğru olup olmadığı...
Yukardaki örnekten devam edersek eğer A12 gibi bir sayı varsa bu sayıya 19 eklenince bu sayı A23'e dönüşmelidir. Tüm ifadeye 19 eklersek
20<=A1+19<A2+19<A3+19<.....<A59+19<A60+19=119 denklemi oluşur.
Burada daha iyi görülmesi için
A1+19=B1, A2+19=B2, .... A60+19=B60 yazarsak
20<=B1<B2<B3<.....<B59<B60=119 elde ederiz.
Bu dizi ile başlangıçta elimizde bulunan 1<=A1<A2<A3<…….<A59<A60=100 dizisine baktığımızda toplamda 120 adet sayı var(A1...A60 ve B1...B60) ve bu 120 sayı 1 den 119 a kadar bir aralığa serpilmiş(A lar 1 den başlıyor B ler 119 da bitiyor). Bu durumda en az bir sayı iki kere geçiyor demektir(1 den 119 a kadar 120 sayı seçmenizi istersem mutlaka bir sayıyı iki kez seçmek zorunda kalırsınız).
Tekrarlanan sayı aynı dizi içinde olamaz çümkü hergün 1 çikolata yeme zorunluluğu olduğundan farklı iki günün A değeri eşit olamaz(zaten denklemde de eşitlik olmadığı görülüyor). Bu durumda A dizisinden ve B dizisinden birer sayı birbirine eşit olmalıdır. Yani A dizisinde bir elemana 19 ekledim ve yine A dizisinin elemanı olan bir değerle karşılaştım. Dolayısıyla 19'luk kesintisiz bir seri mutlaka vardır. Umarım anlatabilmişimdir :)
- musahib
(26.04.12 18:32:23)
1
