[]
kafama takılan matematiksel bir soru var
sayın atinalılar;
şöyle ki; bildiğimiz üzere (ya da benim bu şekilde birdiğim üzere) her bir fonksiyon ya da polinom bir grafiği temsil eder. bu grafik sürekli , parçalı vs. olabilir. yani x lerden oluşan bir y grafiği verildiğinde her x değerine karşılık gelen bir y bağlı değişkeni sayesinde bir grafik çizebiliriz x-y koordinat şeysinde. misal dalgalıu bir sinüs eğrisi , çanak biçiminde bir x kare eğrisi vs.
benim sorum ise , x-y koordinatlarında noktalarının yeri kesin olan gelişi güzel bir eğri çizsek. bu eğri çizsek. direk atmasyon hesabı. ama hangi x değerine hangi y değerinin geldiğini tamamen bilsek. bu tamamen sallama eğrinin bir fonksiyonunu bulabilirmiyiz.
yani pratikte sormuyorum , muhakkak acaip zor bir şey olacaktır. ben tamamen ne kadar karmaşık bir eğri fonksiyonu olursa olsun teorik olarak mümkün olup olmadığını soruyorum.
kısaca tanımlamam gerekirse ; her bir eğrinin bir fonsiyonu her zaman var mıdır? bu ispatlanmış mıdır?
şöyle ki; bildiğimiz üzere (ya da benim bu şekilde birdiğim üzere) her bir fonksiyon ya da polinom bir grafiği temsil eder. bu grafik sürekli , parçalı vs. olabilir. yani x lerden oluşan bir y grafiği verildiğinde her x değerine karşılık gelen bir y bağlı değişkeni sayesinde bir grafik çizebiliriz x-y koordinat şeysinde. misal dalgalıu bir sinüs eğrisi , çanak biçiminde bir x kare eğrisi vs.
benim sorum ise , x-y koordinatlarında noktalarının yeri kesin olan gelişi güzel bir eğri çizsek. bu eğri çizsek. direk atmasyon hesabı. ama hangi x değerine hangi y değerinin geldiğini tamamen bilsek. bu tamamen sallama eğrinin bir fonksiyonunu bulabilirmiyiz.
yani pratikte sormuyorum , muhakkak acaip zor bir şey olacaktır. ben tamamen ne kadar karmaşık bir eğri fonksiyonu olursa olsun teorik olarak mümkün olup olmadığını soruyorum.
kısaca tanımlamam gerekirse ; her bir eğrinin bir fonsiyonu her zaman var mıdır? bu ispatlanmış mıdır?
Düz adam yorumladı: Olsa gerek. Kendi, ilk ve ikinci türevinin kendileri ve değiştiği aralıkları bilinen her fonksiyon çizilebiliyor olsa gerek.
Derseniz ki "ben şöyle bir şey karaladım ben, nedir bunun fonksiyonu, bul bakalım Avarel.", onu çözebilecek matematiksel altyapım pek yok, hemi de ED'de konunun uzmanı zilyon tane adam vardır.
Derseniz ki "ben şöyle bir şey karaladım ben, nedir bunun fonksiyonu, bul bakalım Avarel.", onu çözebilecek matematiksel altyapım pek yok, hemi de ED'de konunun uzmanı zilyon tane adam vardır.
- uyku inadim inat
(22.04.11 23:55:07)
çalıştığımız uzayı da belirtmen gerek.
- iki ekmek bir sigara
(22.04.11 23:56:14)
fonksiyonların grafikleri çizilebilir, ancak her grafiğin bir fonksiyonu olduğunu sanmıyorum.
- alisveris arabasi (23.04.11 00:02:50)
az önce sıçarken şöyle bir şey düşündüm. tanjant vektör uzayında eğrinin her bir noktasına bir tanjant vektörü denk geleceğinden bu uzayda her bir eğri için bir denklem bulabiliriz. ayrıca herhangi bir eğriyi de bu uzaya taşıyabileceğimizden tüm eğriler için bir denklem bulabiliriz.
- iki ekmek bir sigara (23.04.11 00:12:34)
şimdi ilk başta fonksiyon olabilmesi için bir x değeri sadece 1 y değeri alabilir. bu fonksiyounun temel ilkesi. x e dik herhangi bir yerden çizgi cizdiğimiz zaman iki noktayı kesmemesi gerekiyor. ilk başta çizdiğin şeyin buna uyması lazım.
hacı parçalı fonksiyondan bahsetmişsin. eğer bunun için bir kısıtlama yoksa
x1=y1
x2=y2
x3=y3
x3=y3
.
.
.
çizdiğin şeydeki her x için y karşılığını yazarsan bir fonksiyon tanımlamış olursun. Anladım sorduğun bu değil ama parçalı fonksiyon mübahsa çizdiğin şeyleri parçalara bölüp parçalar için ayrı ayrı fonksiyon tanımlayabilirsin. Ama elinle çizdiğin şeyin fonksiyonu sürelki olması zor. Bu dediğinin aslında rasgele sayılar söyleyip, bu sayılar belli bir düzene göre mi dizilmiş demek gibi bişey.
hacı parçalı fonksiyondan bahsetmişsin. eğer bunun için bir kısıtlama yoksa
x1=y1
x2=y2
x3=y3
x3=y3
.
.
.
çizdiğin şeydeki her x için y karşılığını yazarsan bir fonksiyon tanımlamış olursun. Anladım sorduğun bu değil ama parçalı fonksiyon mübahsa çizdiğin şeyleri parçalara bölüp parçalar için ayrı ayrı fonksiyon tanımlayabilirsin. Ama elinle çizdiğin şeyin fonksiyonu sürelki olması zor. Bu dediğinin aslında rasgele sayılar söyleyip, bu sayılar belli bir düzene göre mi dizilmiş demek gibi bişey.
- oshamahue (23.04.11 00:20:52)
@iki ekmek bir sigara , benim de düşündüğüm biraz oydu. yani bu denklemin her bir noktada bir türevi yani eğimi var. ee bu eğimi de bu eğrinin fonksiyonunun türevi vasıtasıyla buluyoruz. yani benim kısıtlı mantığıma göre o türevi bulabileceğimize göre bir denklem yani fonksiyon da olmalı.
işte öyle mi acaba? hiç araştırılmamış mı ki bu konu. olur ya da olmaz diye ispat yapan , her harükarda geçerli bir kanıt sunmuş bir bilim adamı yok mu ki?
bi de gugıl edeyim bari.
bi de çalıştığımız uzay sanırım x-y koordinatlarındaki iki boyutlu uzay. o heralde.
işte öyle mi acaba? hiç araştırılmamış mı ki bu konu. olur ya da olmaz diye ispat yapan , her harükarda geçerli bir kanıt sunmuş bir bilim adamı yok mu ki?
bi de gugıl edeyim bari.
bi de çalıştığımız uzay sanırım x-y koordinatlarındaki iki boyutlu uzay. o heralde.
- harrage (23.04.11 00:21:01)
@oshamuhua , evet aslında sormak istediğim şey biraz da o kapıya çıkıyor sanırım. tamam parçalı olunca cevap tatmin edici. ama dediğin gibi sürekli bir şekilde x-y uzayında noktalar atasam ve bunlar fonksiyon terimini karşılayacak özellikte olsa , yani zaten kısaca fonksiyon terimini karşılayacak bir eğri oluyor , bunun teorikte -hesaplaması imkansız bile olsa- bir fonksiyonu var mıdır? x ve y'ler ile gösterebilir miyiz?
- harrage (23.04.11 00:24:20)
bi de nesnel bir örnek vereyim madem. farazi düşünelim ki , elimizde bir eğri var. ve bu eğri y nin 5 olduğu doğrultu boyunca devam ediyor ta ki x in atıyorum 7 olduğu yere kadar. x in 7 ile 9 olduğu bölgede aşağı doğru bir x kare eğrisi davranışına benzer şekilde düşüp çıkıyor ve x in 9 olduğu yerde y nin 12 olduğu nokta boyunca devam ediyor. attım tabi bu örneği kafadan. en basitinden bunun bile bir fonksiyonu var mıdır? bunu istediğimiz kadar karıştırabiliriz mantık aynı kaldığı sürece. yani herhangi bir x değerine birden fazla y değeri gelmeyecek ön koşulumuz.
- harrage (23.04.11 00:28:04)
eğer atmasyon, rastgele vs. çizdiysen, onun zaten her x noktası için hangi y değerini aldığını bilmiyorsun demektir. f(0,00001) = 1 ve f(0,00002) = 3 ise bu çizdiğin fonksiyonda, bana f(0,000015523213) f(0,000015) f(0,000016324324234) değerini de söyleyebilir misin? eğer söyleyemiyorsan, zaten o grafiğe sahip herhangi bir fonksiyon yoktur, hülasa o grafik bir fonksiyon grafiği değildir, hatta grafik değildir, çiziktirmedir. eğer söyleyebiliyorsan, zaten o zaman sen ya farklı aralıklarda farklı tanımlanmış bilinebilen bir parçalı fonksiyonun grafiğini, ya yüksek dereceli bir polinomun grafiğini, ya da başka bilinebilen bir fonksiyonun grafiğini kullanıyorsun.
ha sen diyorsan ki, x-y düzleminde ben belli sayıda x-y çiftlerini biliyorum, bana bu noktalardan geçen bi fonksiyon bulabilir misin? bulurum. benim kafam basmazsa veririm bi neural network'e ona buldururum. eğer tam oturmuyorsa üstünde düzeltme yaparım. yine beceremezsem çirkeflik yapar parça parça tanımlarım fonksiyonu. ama illa ki o noktalardan geçen bi fonksiyon çıkarırım.
ha sen diyorsan ki, x-y düzleminde ben belli sayıda x-y çiftlerini biliyorum, bana bu noktalardan geçen bi fonksiyon bulabilir misin? bulurum. benim kafam basmazsa veririm bi neural network'e ona buldururum. eğer tam oturmuyorsa üstünde düzeltme yaparım. yine beceremezsem çirkeflik yapar parça parça tanımlarım fonksiyonu. ama illa ki o noktalardan geçen bi fonksiyon çıkarırım.
- unexpected error (23.04.11 00:40:03)
@unexpected error , evet dediklerin doğru bilemem kuşkusuz sonsuz noktasını. ama peki ya bunu tamamen teorik matematik üzerinden düşünürsek. yani bir nevi laplace şeytanı gibi bir varlık benim çiziktirdiğim o fonksiyon kurallarına uygun eğrinin tüm değerlerini datalarını biliyor. bu değerlerin hepsini karşılayabilecek tek bir f(x,y) fonksiyonu var mıdır? tamamen teorik. pratikte çalışıp çalışmayacağını sormuyorum. aslında öğrenmek istediğim şu , olup olmadığı kanıtlanmışmıdır?
- harrage (23.04.11 00:46:12)
kafama taktın bu meseleyi. serret-frenet türev formüllerine bir göz at istersen. bu sistem ile eğri üzerinde bir çatı inşa ediyoruz. bu çatı sayesinde de eğrinin eğriliğini ve burulmasını hesaplıyoruz. bu eğrilik ve burulma ile kurduğumuz çatının düzlemleri olan oskülatör, rektefiyan ve normal düzlem üzerindeki söz konusu eğrinin iz düşümlerini denklemler şeklinde ifade edebiliyoruz. buradan bir eğri denklemi çıkartabilir miyiz? tam olarak karar vermedim henüz.
- iki ekmek bir sigara (23.04.11 00:48:21)
çeşitli interpolasyon formülleriyle istediğiniz eğriyi polinomlarla ifade etmek mümkün. sadece ne kadar kesinlik istediğinize karar vermeniz gerek. bunun için newton ve lagrange interpolasyon yöntemlerini gibilerini ve seriler konusunu araştırmalısınız.
(bkz: nümerik analiz)
(bkz: nümerik analiz)
- talemon (23.04.11 01:10:00)
ya işte grafiğe ait her türlü veri herhangi bir varlık (teorik de olsa) tarafından bilinebiliyorsa, o bir fonksiyonun grafiğidir.
yani bu şuna benziyor. biz sesimizi mikrofonla bilgisayara kaydediyoruz, eşşek gibi grafik çıkıyor, ama aslında mesela bilgisayar saniyede 44bin örnek veri almış, her titreşim için, sesi öyle kaydediyor, oluşturuyor. sürekli değil aslında. çünkü dijital, kesikli, discrete. ama aslında mikrofonun üzerindeki belli bir nokta üzerinde oluşan basınç analog bi hadise, o yüzden teoride sonsuz nokta üzerinde sonsuz farklı değer alabiliyor. (aslında teoride de pek öyle değil, olayın fiziğine girersen planck zamanı diye bi dalga var, ama burda pek önemli değil, matematikle uğraştığımız için zamanın reel sayılar üzerinde ilerlediğini varsayabiliriz)
sonsuz nokta üzerinde ilerleyen herhangi bir örneklem de illa ki bi fonksiyona karşılık gelir. zaten böyle bir "çiziktirik"ten bahsettiğimize göre, o aralıkta o fonksiyon fourier serisi olarak yazılabilir bildiğim kadarıyla. sonsuz aralıkta olsa da illa ki tek bir fonksiyon karşılığı bulunur. yani aslında fonksiyon denen kavramın tanımı gereği böyle.
yani bu şuna benziyor. biz sesimizi mikrofonla bilgisayara kaydediyoruz, eşşek gibi grafik çıkıyor, ama aslında mesela bilgisayar saniyede 44bin örnek veri almış, her titreşim için, sesi öyle kaydediyor, oluşturuyor. sürekli değil aslında. çünkü dijital, kesikli, discrete. ama aslında mikrofonun üzerindeki belli bir nokta üzerinde oluşan basınç analog bi hadise, o yüzden teoride sonsuz nokta üzerinde sonsuz farklı değer alabiliyor. (aslında teoride de pek öyle değil, olayın fiziğine girersen planck zamanı diye bi dalga var, ama burda pek önemli değil, matematikle uğraştığımız için zamanın reel sayılar üzerinde ilerlediğini varsayabiliriz)
sonsuz nokta üzerinde ilerleyen herhangi bir örneklem de illa ki bi fonksiyona karşılık gelir. zaten böyle bir "çiziktirik"ten bahsettiğimize göre, o aralıkta o fonksiyon fourier serisi olarak yazılabilir bildiğim kadarıyla. sonsuz aralıkta olsa da illa ki tek bir fonksiyon karşılığı bulunur. yani aslında fonksiyon denen kavramın tanımı gereği böyle.
- unexpected error (23.04.11 01:27:18)
yani bu kanıtlanması gereken bir şey değil, zaten fonksiyon tanımının doğal sonucu. bizim grafik dediğimiz dalga descartes denyosunun fonksiyonları falan daha iyi anlayalım kurcalayalım diye ürettiği bi modelleme yöntemi sadece, yani fonksiyonun matematiksel tanımı üzerinde, özellikleri üzerinde bi etkisi olabilecek bir şey değil. her noktada bilinebilir bir şeyse bu, zaten tek bir fonksiyona aittir. ha f(0,0001) ve f(0,0002) değerlerini biliyorsak, ama aradakileri bilemiyorsak, bu bi fonksiyon değildir, matristir, yakınsamadır. ben nerden bileyim o fonksiyonun 0,0001-0,0002 aralığında sonsuza gidip gelmediğini, belki zoom yapsak görecez :)
ha herhangi bi varlık onun her noktada hangi değeri aldığını bilebiliyorsa, fonksiyondur.
ha herhangi bi varlık onun her noktada hangi değeri aldığını bilebiliyorsa, fonksiyondur.
- unexpected error (23.04.11 01:36:38)
1
