|a-b| ≥ |a|-|b| olduğunu gösterdiğinizi kabul edelim.
|a-b| = |b-a| olduğundan şu iki eşitsizliği elde ederiz:
|a-b| ≥ |a|-|b| (1)
|a-b| ≥ |b|-|a| (2)
göstermek istediğimiz şey:
|a-b| ≥ ||a|-|b||
|a|-|b| > 0 olduğunda bu eşitsizlik (1) ile aynıdır.
|a|-|b| < 0 olduğunda bu eşitsizlik (2) ile aynıdır.
|a-b| = |b-a| olduğundan şu iki eşitsizliği elde ederiz:
|a-b| ≥ |a|-|b| (1)
|a-b| ≥ |b|-|a| (2)
göstermek istediğimiz şey:
|a-b| ≥ ||a|-|b||
|a|-|b| > 0 olduğunda bu eşitsizlik (1) ile aynıdır.
|a|-|b| < 0 olduğunda bu eşitsizlik (2) ile aynıdır.
- wingless
(14.10.10 23:07:43)
|a+b|<=|a|+|b| olayi var, once bunu kanitlayalim:
herhangi bir a icin: -|a|<=a<=|a|
herhangi bir b icin: -|b|<=b<=|b|
bu ikisini toplarsak bu olur:
-(|a|+|b|)<=a+b<=|a|+|b|
hem -(|a|+|b|), hem de a+b (|a|+|b|) den kucuk olduguna gore,
|a+b|<=|a|+|b|
simdi, x=x-y+y ve y=y-x+x diyelim.
bu yukarida kanitladigimiz sekliyle bakarsak,
1)
x-y=a
y=b
2)
y-x=a
x=b
olsun,
yani bunu
1) |x-y+y|<=|x-y|+|y|
2) |y-x+x|<=|y-x|+|x|
seklinde yazabiliriz.
1) |x-y+y|=|x|
2) |y-x+x|=|y|
seklinde geri cevrilebilir, o nedenle bunlari yine su sekilde yazabiliriz:
1)|x|<=|x-y|+|y|
2)|y|<=|y-x|+|x|
(1) icin iki taraftan da |y|, (2) icin iki taraftan da |x| cikarir isek,
1)
|x|-|y|<=|x-y|+|y|-|y|
|x|-|y|<=|x-y|
2)
|y|-|x|<=|y-x|+|x|-|x|
|y|-|x|<=|y-x|
tersten yazarsak
1)|x-y|>=|x|-|y|
2)|y-x|>=|y|-|x|, ki "|a-b| = |b-a|" ya gore bu |x-y|>=|y|-|x| de olur, oradan da su olabilir: |x-y|>=(|x|-|y|)*(-1)
yani iki dogruluga erismis oluyoruz:
1)|x-y|>=|x|-|y|
2)|x-y|>=-(|x|-|y|)
yani reverse triangle inequality olur:
|x-y|>=||x|-|y||
|a-b|>=||a|-|b|| seklinde de yazarsin.
herhangi bir a icin: -|a|<=a<=|a|
herhangi bir b icin: -|b|<=b<=|b|
bu ikisini toplarsak bu olur:
-(|a|+|b|)<=a+b<=|a|+|b|
hem -(|a|+|b|), hem de a+b (|a|+|b|) den kucuk olduguna gore,
|a+b|<=|a|+|b|
simdi, x=x-y+y ve y=y-x+x diyelim.
bu yukarida kanitladigimiz sekliyle bakarsak,
1)
x-y=a
y=b
2)
y-x=a
x=b
olsun,
yani bunu
1) |x-y+y|<=|x-y|+|y|
2) |y-x+x|<=|y-x|+|x|
seklinde yazabiliriz.
1) |x-y+y|=|x|
2) |y-x+x|=|y|
seklinde geri cevrilebilir, o nedenle bunlari yine su sekilde yazabiliriz:
1)|x|<=|x-y|+|y|
2)|y|<=|y-x|+|x|
(1) icin iki taraftan da |y|, (2) icin iki taraftan da |x| cikarir isek,
1)
|x|-|y|<=|x-y|+|y|-|y|
|x|-|y|<=|x-y|
2)
|y|-|x|<=|y-x|+|x|-|x|
|y|-|x|<=|y-x|
tersten yazarsak
1)|x-y|>=|x|-|y|
2)|y-x|>=|y|-|x|, ki "|a-b| = |b-a|" ya gore bu |x-y|>=|y|-|x| de olur, oradan da su olabilir: |x-y|>=(|x|-|y|)*(-1)
yani iki dogruluga erismis oluyoruz:
1)|x-y|>=|x|-|y|
2)|x-y|>=-(|x|-|y|)
yani reverse triangle inequality olur:
|x-y|>=||x|-|y||
|a-b|>=||a|-|b|| seklinde de yazarsin.
- bunubenyazdim (14.10.10 23:57:35)
1
