maximus decimus meridius
Bir odev sorum var da diferansiyelden anlayan birileri cevaplayabilirse cok makbule gecer.."Merkezleri y=x ekseni uzerinde olan cemberlerin genel denklemi bir diferansiyel denklemin genel cozumuymus, bu cozum denklemini veren diferansiyel esitlik nedir?"soru x ekseni uzerinde olan cemberler icin ols
Bir odev sorum var da diferansiyelden anlayan birileri cevaplayabilirse cok makbule gecer..
"Merkezleri y=x ekseni uzerinde olan cemberlerin genel denklemi bir diferansiyel denklemin genel cozumuymus, bu cozum denklemini veren diferansiyel esitlik nedir?"
soru x ekseni uzerinde olan cemberler icin olsaydi cevap (1+y')^2+yy''=0 olacakti..
"Merkezleri y=x ekseni uzerinde olan cemberlerin genel denklemi bir diferansiyel denklemin genel cozumuymus, bu cozum denklemini veren diferansiyel esitlik nedir?"
soru x ekseni uzerinde olan cemberler icin olsaydi cevap (1+y')^2+yy''=0 olacakti..
0
(1) "soru x ekseni uzerinde olan cemberler icin olsaydi cevap (1+y')^2+yy''=0 olacakti.." demişsin. bundan emin misin? ben 1+ (y')^2 + yy'' = 0 olmali buldum. bir kontrol eder misin?
(2) bahsettigin cemberler (x-a)^2 + (y-a)^2 = r^2 seklinde yazilabilir. burada a ve r reel sabitler; amacimiz bu denklemin birkac kez turevini alip a ve r'den bagimsiz bir ifade elde etmek. iki tane sabit oldugu icin iki kez turev almamiz gerekecek.
ilk once yukaridaki denklemde kareleri acip sadelestirince x^2 + y^2 - r^2 = 2a (x+y) cikiyor. simdi iki tarafin turevini aliyorum:
2(x+y) = 2a (1+y')
(y') ifadesinin -1 den farklı olduğunu kabul edip her iki tarafı (1+y') ne boluyorum:
(x+y)/(1+y') = a
simdi iki tarafin turevini aliyorum tekrar
((1+y')^2 - (x+y)y'') / (1+y')^2 = 0
paydayi sifirdan farkli kabul ettigim icin pay sifir olmali. yani
(1+y')^2 - (x+y) y'' = 0
aradigimiz differansiyel denklem bu sanirim.
simdi diyeceksin neden 1+y' nun sifirdan farkli oldugunu kabul ettik. her cember uzerinde tegetinin egimi -1 olan iki tane nokta var sonucta. yani buldugumuz denklem aslinda {cemberler - iki nokta} icin verilmis bir diferansiyel denklem, fakat denklemi bulduktan sonra (x-a)^2 + (y-a)^2 = r^2 ifadesini HER NOKTA icin sagladigini gordugumuz icin denklem yukarida attigimiz iki nokta icin de saglaniyor. sanirim mantigin bu olmasi gerek...
(2) bahsettigin cemberler (x-a)^2 + (y-a)^2 = r^2 seklinde yazilabilir. burada a ve r reel sabitler; amacimiz bu denklemin birkac kez turevini alip a ve r'den bagimsiz bir ifade elde etmek. iki tane sabit oldugu icin iki kez turev almamiz gerekecek.
ilk once yukaridaki denklemde kareleri acip sadelestirince x^2 + y^2 - r^2 = 2a (x+y) cikiyor. simdi iki tarafin turevini aliyorum:
2(x+y) = 2a (1+y')
(y') ifadesinin -1 den farklı olduğunu kabul edip her iki tarafı (1+y') ne boluyorum:
(x+y)/(1+y') = a
simdi iki tarafin turevini aliyorum tekrar
((1+y')^2 - (x+y)y'') / (1+y')^2 = 0
paydayi sifirdan farkli kabul ettigim icin pay sifir olmali. yani
(1+y')^2 - (x+y) y'' = 0
aradigimiz differansiyel denklem bu sanirim.
simdi diyeceksin neden 1+y' nun sifirdan farkli oldugunu kabul ettik. her cember uzerinde tegetinin egimi -1 olan iki tane nokta var sonucta. yani buldugumuz denklem aslinda {cemberler - iki nokta} icin verilmis bir diferansiyel denklem, fakat denklemi bulduktan sonra (x-a)^2 + (y-a)^2 = r^2 ifadesini HER NOKTA icin sagladigini gordugumuz icin denklem yukarida attigimiz iki nokta icin de saglaniyor. sanirim mantigin bu olmasi gerek...
0
