Ekşi Duyuru

bu noktaların sadece kenar üzerindeki adetleri mi eşit? aralarındaki mesafe konusunda bir bilgi yok mu?

edit: benim sorumda da bir eksiklik var sanırım. kafamda şekillendirmeye çalışıyorum ama rastgele yerleştirince noktaları, köşeleri bizim koyduğumuz noktalar olmayan üçgenler oluşuyor, dolayısıyla da ortaya çıkacak olan üçgen sayısı her farklı nokta yerleşiminde (kenardaki nokta sayıları eşit olsa bile) farklı çıkıyor. sanki eksik bir bilgi var gibi geldi bana.

edit2: maksimum demişsiniz, sorularımın hepsini geri alıyorum.

noktları diledigin yere yerlestirebilirsin kenar uzerinde.ama kalkıp da en koseye yerlestirirsen sorun cıkabilir tabii.her kenarda esit adet nokta var.

4n tane nokta var, 4 tane de karenin kend köşeleri var. 4n+4 tane nokta etti.

tüm bu noktaların aynı doğru üzerinde olmadığını varsaysak: (4n+4)'ün 3'lü kombinasyonu kadar üçgenimiz olur. ama n+2 tane nokta aynı doğru üzerinde(kenar üzerinde). bu aynı noktalar üzerindeki noktalardan oluşacak (n+2)'nin 3lü kombinasyonu kadar üçgeni çıkartmamız lazım, çünkü aynı doğru üzerindeler ve üçgen oluşturamazlar.
özetleyecek olursak;

(4n+4)ün 3'lü kombinasyonu - 4(her kenar için)*[(n+2)nin 3lü kombinasyonu)]

gibi bir cevap vermek istiyorum. cevabımın çürütülebilmesi çok olası, ilk aklıma gelen cevap bu.

oha editi: tabi çizilen her üçgenin keşismesiyle orijinal noktaların oluşturdukları dışında yeni üçgenler ortaya çıkıyor. çizip birşeyler karalayıp cevap vermek lazım.

karenin koseleri diger noktalar ile birlestirilmiyor.

şimdi soruyu doğru anladıysam şu şekilde:
4n'in 3'lü kombinasyonu - n'in 3lü kombinasyonu X 4

yanlıs cevap efendim.nitekim bu hin oglu hin dogru parcaları ucgenin icinde alakasız bicimde kesisip ucgenler olusturabiliyorlar.dolayısı ile olusan ucgenler koseleri bizim mazbut noktalarımız olan ucgenler degiller sadece.

bütün çizgiler çizildikten sonra oluşan üçgen sayısını arıyoruz yani?

8 nokta için 8'in 3'lüsü, yani 56 üçgen olur.

toplam n nokta için;

üçgen sayısı = [ n x (n-1) x (n-2) / 6 ]

Tabii buradaki n bir köşeye koyduğunuz nokta sayısı değil, toplam nokta sayısı.

Daha kompleks gözüküyor ama bu kadar basit aslında. 4 nokta için olan ispatı siz zaten kendiniz yaparsınız. 8 nokta için;

Kenarlara 2'şer nokta çizin. Bir tanesini sabitleyip, saat yönündeki yanında olan ilk noktaya bir çizgi çekin; şimdi üçgenin iki noktasını belirlemiş olduk. Şu anda üçüncü nokta olabilecek 6 tane nokta kaldı elinizde. İlk sabitlediğiniz noktadan saat yönündeki ikinci noktaya çizgi çekin bu defa, şimdi üçüncü nokta olarak belirleyebileceğiniz 5 nokta var elinizde; çünkü bir önceki nokta ile birleştirme yaparsanız aynı üçgeni elde ediyorsunuz. Bu şekilde giderseniz tek bir sabit nokta alarak 6+5+4+3+2+1 adet üçgen oluşturabileceğinizi görürsünüz.

Şimdi ilk sabit noktayı değiştirin, saat yönünde yanında duran ilk noktaya çizgiyi çekin. Bu defa bunun kombinasyonlarını belirleyeceğiz. Yalnız burada bir durum var: ilk sabit nokta için bütün olasılıkları belirlediğimizden onun içinde olduğu 3'lü kümeleri yani üçgenleri kuramıyoruz. Bu nedenle ikinci sabit noktanın üçgenleri 5+4+3+2+1 toplamı kadar ediyor.

Üçüncü sabit nokta için 4+3+2+1
Dördüncü sabit nokta için 3+2+1
Beşinci sabit nokta için 2+1
Altıncı sabit nokta için 1

Sona kalan iki nokta için ise üçgen oluşturamıyorsunuz çünkü hâli hazırda diğer gruplamaların içinde yem oldular.

Toplamın sonucu ise 56 çıkıyor.

@hiro: cizdim 8 noktayla 58 ucgen saydim ki sanirim arada kacirdiklarim da oldu. yani ispatiniz yanlis. ha dogrusunu ben de bilmiyorum o ayri.

daha once de soylediim gibi dogru parcaları baska ucgenelr olusturuyor koseleri bizim noktalarımız olmayan.8 nokta icin ornek verirsek karsılıklı iki kenardan caprazlama iki dogru parcası cizelim.esit alsak nokta arakıklarını (ki almak zorunda degiliz) karılsıklı diger iki kenardan cizecegimiz herhani bir dogru parcası da bu x seklindeki yapıyı kesecektir.dolayısı ile koseleri bizim noktalarımız olmayan ama bizim noktalarımızdan gecen dogru parcaları ile olusturdugumuz nur topu gibi ucgenlerimiz var karenin icinde.

hatta o x seklinden de iki ucgen geliyor mis gibi.

bir de buldugunuz formullerin ispatlarını yazarsanız sevinirim.

diger cevaplari okumadim eminim dogru cevaplar da vardir iclerinde ancak,
cozumum su sekilde (yemek istemiyorum tesekkur ederim):

ucgen tanimlamak icin, ayni duzlemde dogrusal olmayan 3 nokta yeterlidir.
varsayalim ki 4*n noktamiz dan herhangi 3'u dogrusal degil bu durumda secebilecegim 3 noktadan olusan kumeler kadar yani c(4*n,3) (yani 4*n'in 3'lu kombinasyonlari) kadar ucgenimiz olur.
4 tane dogrumuz var her birinde n nokta var, her kenarda c(n,3) kadar nokta kumesi ilgimizi cekmiyor, yani toplam 4*c(n,3) kadar noktalar kumesini de c(4*n,3)'den cikarmamiz lazim.

bu durumda n icin genel sonuc: c(4*n,3)-4*c(n,3)

2 icin ise
c(8,3)-4*c(2,3)
=c(8,3)-4*0 = 56 ucgen.

hmm soyle bir gozden gecirdim diger cevaplari, iceride kesisen dogrular olursa da isler karisacak haklisiniz. dusunup guncelleyecegim.

simdi durum su, 8 tane nokta var, c(8,2) tane dogru olur. karenin kenarlarini cikarirsak c(8,2)-4=24 tane kesisen dogrumuz var karenin icinde.

bu 28 dogru maksimum, her dogru'nun birbirini kestigini varsayarsak (24*23)/2 noktada kesisir.

ayrica, cikardigimiz kenarlarinda kesisim noktalarini eklersek (24*23)/2+4 adet noktada toplam 28 dogru kesismektedir.
ara toplam:----
(24*23)/2 = 276
---------------

280 nokta'dan c(280,3)=3619560 kadar ucgen tanimlanabilir.

icerideki 24 dogrunun her birinin uzerinde 23 nokta var 24*c(23,3) kadar ucgeni dogrusal olduklari icin iptal ediyoruz 24*1771 = 42504

simdi kaldi kenarlar, her kenarda 2 nokta var ayrica koseleri de dikkate alirsak hesabimizda fazlalik olan 2 nokta daha kazaniyoruz her kenar icin. 2+2=4 nokta var her kenarda.

4*c(4,3)= 4*4=16

simdi son aratoplamimiz ucgen sayisini verecek
3619560 (tum ucluler) - 42504 (iceride kesisen dogrular uzerindeki ucluler) - 16 (kenarlar uzerindeki ucluler) = 3577040 tane ucgen olur hayrini gorun

yine hatali oldu, fazla saymisim kesismeyen dogrular uzerindeki noktalardan da ucgen yaptim kaale almayiniz.

dogru cozum gelecektir merak etmeyin.

noktalar uzerinden hesaplıyamıyaagımızı daha once ornekle belirttim.bu arada bu sorunun baist bir kombinatorik sorusu degil gayet saglam bir olimpiyat sorusu oldugunu belirtmeden edemeyecegim.

simdi,

4 kenar, her kenarda 2 nokta toplam 8 noktamiz var.
2 nokta bir dogru tanimlar diyerekten c(8,2) tane dogrumuz var.
yani, 28 tane dogrumuz var.
karenin icinde 24 tane, 4 kenarla beraber toplam 28 dogru
icerideki dogrular oyle bir kesissin ki, hepsi birbirini kessin diyerekten,
icerideki 24 kenarin her birinde 23 tane kesisim noktasi var. (bu bilgiye ihtiyac ola da bilir, olmaya da bilir)
kenarlar da birbirini kesiyor ve kenarlari icerideki dogrular da kesiyor,
kenarlardaki 4 kenarin her birinde 4 tane kesisim noktasi var. (bu bilgiye de ihtiyac ola da bilir, olmaya da bilir)

icerideki dogrularin her birinin birbiriyle kesistigini varsaydigimiza gore, herhangi 3 dogrudan bir ucgen elde edebiliriz. c(24,3) tane iceride gereksiz ufacik ucgenimiz olur, 2024 tane.

kenarlar uzerindeki ucgenleri de 56 olarak saymistik,
2024+56=2080 ucgen.

Kasılırsa hesaplamak için bir program yazılabilir. Ama ondan genel bir çözüm, yani n değeri için sonuç verecek bir formül çıkmaz. Program yardımıyla n=2,3,4... gibi değerler için sonuçlar hesaplanıp n değerine bağlı genel bir formüle ulaşmak için de ayrıca zorlamak lazım. Bitirme tezi gibi soru.

bu soruda kobon ucgen problemi de var sanirim, maksimum ucgen sayisi dendigi icin, bunu da goz onunde bulundurun:
en.wikipedia.org

ne yazık ki icerideki buun dogrular kesismiyor.ve biz kesismediklerini en bastan biliyoruz.hatta kac dogrunun iceride kesistigini hesaplayan bir formuller silsislesi yazdım ki kendisi 7 formulun toplamından olusuyor.toplayına sadelesicekmis gibi durdu ama sadelesmedi meret.hayır bir de noktanın yerine baglı.soru cozulmek isteniyorsa aslında benim bu formullerle cok rahat hesaplanabilir.ama mesele o degildi iste.kardesim stanfordın 15-17 yas icin duzenledigi matematik yaz okuluna basvurmustu matematik ve giris icin sorulan 9 sorudan bir tek bunu cozememisti.ben de eski bir olimpyatcı olarak el atıyım dedim ama helak etti beni.formulu hala biilmiyorum.ama bir gun birisi muhendislik gibi bir konuda ihtiyac duyarsa buldugum formulleri veririm.ama o zamana cevabı ogrenir yazarım zaten buraya.

zaten butun dogrular kesisse kolay olurdu, birden fazla kobon icinde kobon var burda, bir de kapali bir geometrik seklin icinde, hem kobonlar, hem kombinasyonlar hem de kapali geometri, boyle soru mu olur:) matematigi mi olcuyor yani simdi bu soru?

diger sorular catır cutur cozuluyor bir bu mahfetti bizi.bunun da digerleri gibi kısa bir cevabı var sanırım.cevabı duyunca kafayı yemekten korkuyorum.vakti zamanda cahit arf matematik yarısmasında da bir soruyu cozememistim.meger sorununun cevabını ali nesin de bilmiyormus.ucu acık oldugu halde sormus.ama katılımcılardan biri ali nesinden bir ka asama ileriye gitmisti soruda.stanford da evabı bilinmeyen bir soru sıkıstırdı ise araya valla kırarım kalplerini.