[matematiği 6 sene önce bıraktım, öss matematiğiyle girişiyorum]
bölüm-1:
3 top, 5 kutu olsa, 3 kutuya birer top, 2 adet kutu boş.
burada topsuz kutuyu seçme ihtimali 2/5.
bölüm-2:
burada 2 kutuda en az 1 top arıyoruz. ilk seçişimizde top bulma ihtimalimiz 3/5.
eğer topu bulursak ikincisinde 2/4, sonucunda 3/5 x 2/4 = 3/10
eğer ilkinde topu bulamazsak ikincisinde 3/4 olacaktır. sonucunda 3/5 x 3/4 = 9/20
yazarken yazarken sıçtığımı farkettim. bırakıyorum.
bir kutu seçtiğimde top bulma ihtimalim m/n ise iki kutu seçtiğimde hiç top bulmama ihtimalim şudur:
bir kutuda 1-m/n kadar top bulmama ihtimalim var. ikinciye geldiğinde bu olasılık 1-(m/(n-1)) e düşer. ikisinde de top bulmama ihtimalim ikisinin çarpımıdır ki o da şudur:
((n-m)^2-n+m)/n^2-n
bu sayıyı 1den çıkardığımızda en az 1 top bulma ihtimalimizi buluruz.
sayılardan gidelim: 3 top 5 kutumuz var. 2 kutu boş. birinci kutuya baktığımızda top bulmama olasılığımız 2/5, ikinci kutuya baktığımızda ise bu ihtimal 1/4 olacaktır.
ikisini çarpalım: 2/5 x 1/4= 2/20 çıkıyor. yani en az 1 top bulma ihtimalimiz 18/20dir. m ve n'lerle işe girişince karmaşıklaşıyor, o yüzden direk sayı üzerinden gitmek daha mantıklı olur.
m ve n'lerle verdiğim formülde de aynı sonucun çıktığını göreceksiniz.(bende bi ışık varmış lan)
biraz daha açayım hatta.
şimdi m kadar kutunun içinde top var çünkü top sayısı m. (n-m) kadar kutuda da top yok.(n>m demiştik başta)
eğer 2 kutuda da top olmaması ihtimalini hesaplarsak ve bunu 1'den çıkarırsak kutuların birinde ve ikisinde birden top olma ihtimallerinin toplamını buluruz. çünkü üç ihtimal var: ya iki kutuda da top olacak, ya birinde olacak birinde olmayacak, ya da ikisinde de olmayacak. bu üç ihtimalin toplamı 1'e(%100)e eşit. eğer ikisinde de olmama ihtimalini bulursak diğerlerinin toplamını da bulmuş oluruz. zaten soru da bu.
2 kutuda da top olmama ihtimalini hesaplayalım. ilk kutuda top olmama ihtimali topsuz kutu sayısı/toplam kutu sayısına eşittir. yani (n-m)/n.
bu kutuya baktık. şimdi ikinci kutuya bakıcaz. ilk kutu boş çıktığı için boş kutu sayısı 1 azaldı ve (n-m-1)'e düştü. kutu sayısı da 1 azaldı ve (n-1)e düştü. çünkü baktığımız ve boş çıkan kutuyu bir kenara ayırdık artık. ikinci kutuda boş çıkma ihtimali ise şu: (n-m-1)/(n-1)
eğer bu ikisini çarparsak çektiğimiz iki kutuda birden boş çıkma olasılığını hesaplamış oluruz. üstte çarpılmışı var: ((n-m)^2-n+m)/(n^2-n)
başta da dediğim gibi bu çıkan sonucu 1'den çıkarırsak istediğimiz cevaba ulaşırız. onu da formulize etmek gerekirse:
1-((n-m)^2-n+m)/(n^2-n) olur. bu belki sadeleşebilir bir deneyin.
bu formül bu soru tipinde bütün sayılar için geçerli olur.(ne coştum gece gece. yürü be! kim tutar seni)
coştukça coşuyor efenim durduramıyoruz.
bir de şöyle yapalım. ikisinde birden top bulunma ihtimaliyle sadece birinde top bulunma ihtimalini toplayalım:
ikisinde birden top bulunma ihtimali: (m/n).((m-1)/(n-1))
ilkinde top var ikincide yok: (m/n).((n-m)/(n-1))
ilkinde top yok ikincide var: (n-m/n).(m/(n-1))
bu üçünü toplayınca da sonuca ulaşıyoruz. toplamaya üşendim şimdi(o kadar da coşmadım). verdiğiniz sayılarla çözünce üç ihtimal de 6/20 çıkıyor.
ben nasa'da gidecektim aslında da yükseklik korkum var. napalım.
gonion, ugrastigin icin tesekkur ederim :)
cro magnon, kutulari ayni anda sectigimi soylemeyi unutmusum ama cok da fark etmiyor, senin cozumunde sadece (n-1)'leri n'le degistirmek gerekiyor. cok tesekkurler!
kutuları aynı anda seçmezsek iş aşırı kolaylaşıyor.
birinde boş çıkma ihtimali (n-m)/n ya
ikisinde de boş çıkma ihtimali ((n-m)/n)^2 yani kendisiyle çarpıyoruz.
ve 1'den çıkarıyoruz. yani verdiğiniz örnekte cevap 21/25 oluyor.