f(x)=1-int{0'dan x'e}[f(t).dt] ise f(x)= ?(x türünden)
int=integral
notasyonu düzeltmeye çalıştım. her iki tarafı d/dx ile çarpıp çözeceksin diyorlardı ?
Tam notasyonu anlamadım ama olayın içinde integralin türevi gibi bir durum varsa onun sonucu sıfırdır (belirli integralin sonucu = sabit sayı, sabitin türevi 0). 1995 ÖYS'nin güzide bir sorusudur hatta yanlış hatırlamıyorsam.
edit: notasyon düzeltildikten sonra anlamsız oldu bu yorum tabi :)
integralin sınırları sayı değil de değişken ise sonuç sıfır olmak zorunda değildir.
ifadede türevin nerede olduğunu anlayamadığım için çözmedim ama şimdilik şu bilgiyi vereyim:
en.wikipedia.org
f(t) yerine t olmasın o sadece?
hayır, integralden sonrası kesin doğru, eksik değil yani.
şöyle bir çözüm yaptım ama kontrol etmedim:
F(u)=int{f(u)du} olsun.
soru şu hale dönüşür:
f(x)=1-[F(x)-F(0)]
iki tarafı da d/dx'e alırsak:
d(f(x))/dx = d/dx*[1-F(x)+F(0)]
f'(x) = 0-f(x)+0
f'(x) = -f(x) : yani; türevi, kendisinin (-1) katı olan fonksiyonu arıyoruz. Bu noktadan sonrası diferansiyel denklem çözümüne giriyor ama şimdilik uzatmayayım:
Bu fonksiyon da e^(-x)'dir.
edit: adi diferansiyel denklemin çözümüne girmemiştim. Aynen şu mantıkla çözülüyor:
en.wikipedia.org
ilk örneğe bakınız.
Bu durumda çözüm sadece e^(-x) değil, A=sabit sayı olmak üzere f(x)=A.e^(-x) olur. (genel çözüm)
teşekkürler cevap için. güzel bir soruymuş.
galadniov; A sabit sayı ve çarpan durumunda olduğu için türevi etkilemiyor ve çarpanlık halini koruyor. Tıpkı 3x²'nin türevinin 3*(2x), 5x²'nin türevinin ise 5*(2x) olması gibi.
Açık olarak yazarsak:
f(x)=A*e^(-x)
f'(x)=A*[(-x)'*e^(-x)*ln(e)]
f'(x)=A*[(-1)*e^(-x)*1]
f'(x)=-A*e^(-x) ; o halde
f'(x)=-f(x) : doğru.
galadnikov, çözümün aynen doğru, sabit konusundaki hatamı tespit ettiğin için teşekkürler.
Düştüğüm hata şudur: sorunun kendisini unutup, çözümde ara aşamada ulaştığım, "türevi kendisinin (-1) katına eşit olan fonksiyon"a genelleştirmek. Olumlu bir örnek olarak burada kalsın.