1. X ussü logx=10 X=?
2. (logx)üssü lnx=1 x=?
3.x üssü lnx=e çözüm kümesi=?
4. (1+x) üssü log 2 tabanında (x+1)=16 üssü 3(x+1)çözüm kümesi=?
1. logx=a dersek, buradan x=10^a olduğunu çıkarırız. X yerine formülde 10^a koyarsak,
10 üssü a(kare) = 10 olacaktır. buradan a^2= 1 ve a=1, yukarıda a yerine de bir koyarsak x=10 olacaktır.
2. yukarıda ki gibi logx= a dersek yine buradan x=10^a olacaktır. X yerine tekrar 10^a koyarsak bu sefer a^(ln10^a)=1 olacaktır. Burada üslü bir sayının sonucu 1'e eşit olduğundan ya sayının kendisi 1'e eşittir ya da üssü 0'a eşittir. Üssü sıfıra eşit olamayacağından kendisi yani a=1 olacaktır. Yine x=10^a olduğundan x=10 olacaktır.
edit: sttc 2. soruda logx=1 demek istiyor aslında yani x=10
1) Her iki tarafın logaritmasını alırsak:
log(x^logx)=log10
logx.logx=1
(log^2)x=1
logx=1 ise x=10
2) (logx)^lnx=1
her iki tarafın logaritmasını alırsak
lnx. log(logx)=log1
lnx. log(logx)=0 olur. bu durumda lnx=0 veya log(logx)=0 olmalı lnx=0 ==> x=1 sağlamıyor.
demek ki log(logx)=0 ==> logx=1 ==> x=10
3)x^lnx=e
her iki tarafın ln ini alırsak
lnx.lnx=lne olur
(ln^2)x=1
lnx=1 x=e veya lnx=-1 x=1/e olur.
4) soruyu anlamadım ya da çözemedim arkadaşım dediği gibi.
yardımcı olan arkadaşlara çok teşekkür ederim. 4. soruda bir yazım hatası var sanırım, doğru soru şu şekilde olacakmış
4. (1+x) üssü log 2 tabanında (x+1)=16 nın 3. kuvveti (x+1)çözüm kümesi=?
hata için kusura bakmayın.
@uzun sure dusundum en uygun bunu buldum
işlemlerinizde hata var. çözümleri işlemleri sağlamıyor.
toplam durumundaki logaritmaların fonksiyon kısımları tek log altında toplanarak çarpılır, siz ise log unu aldığınız logları çarpmışsınız, tam anlamadım ama zaten sonuçlar sağlamıyor.
ekleme: tam emin olamadım çözümlerimden, muhtemel yanlışlara yer vermemek için çözümümü sildim, sizin çözümünüz doğrudur sanırım.
4)
(x+1)^(log(2)(x+1))=16^3. (x+1)
her iki tarafın 2 tabanında logaritmasını alırsak
(log(2)(x+1))^2=log(2)(16^3.(x+1))
(log(2)(x+1))^2=log(2)(16^3)+log(2)(x+1) log(2)(x+1)=a dersek
a^2=12+a olur a=4 veya a=-3
a=4 için log(2)(x+1)=4 ==> x=15
a=-3 için log(2)(x+1)=-3 ==> x=-7/8
@sttc
soruları farklı anlamadıysak sağlıyor. hepsinin sağlamasını yaptıktan sonra gönderdim çünkü. 3. sorudan bahsediyorsanız e ve 1/e sağlıyor. x=1 sağlamıyor.
çözümlerde eksikler var onları düzeltmektense kendi çözümlerimi vereyim ama önce şunları belirteyim:
a^b cinsinden bir ifadeyi logaritmalar sayesinde herhangi bir taban üzerinde yükseltmek mümkün.
a^b = e^bln(a) = 2^blb(a) = 10^blog(a)
çünkü e^bln(a)=(e^ln(a))^b = a^b. diğer tabanlar için de böyle. soruları çözerken bunu kullanmak faydalı olacak.
1.) x^log(x)=10
10^(log(x)*log(x))=10
tabanlar aynı olduğuna göre üsler de aynı olacak:
log^2(x)=1
o zaman log(x)=±1 (insanlar genelde eksilisini unuttuğu için tek çözüm eksik buluyor).
x buradan 10^±1 olarak çıkar. çözümler: x_1=10 , x_2=0.1.
2.) (log(x))^ln(x)=1
a^b=1 ise iki şey olabilir: 1) a=1 ise b ne olursa olsun denklem geçerlidir. 2) b=0'dır. yalnız bu durumda kontrol etmek gerek: a=0 olamaz çünkü 0^0 tanımsızdır.
ilk durumda log(x)=1. çözüm x=10.
ikinci durumda ln(x)=0. x=1 ama bu tabanı da 0 yapacağından çözüm değil.
bahsetmediğim üçüncü bir durum var: (-1)^n=1 n'in çift sayı olması durumunda gerçekleşir ama bu durumda mümkün değil zaten.
3) x^ln(x)=e
x^ln(x)=e^(ln(x)*ln(x))=e^ln^2(x)=e^1
tabanlar eşitse üsler de eşit:
ln^2(x)=1 => ln(x)=±1 => x=e^±1
iki çözüm var: x_1=e, x_2=1/e.
4) (x+1)^lb(x+1)=(x+1)*16^3 (2 tabanlı logaritmayı kısaca lb olarak yazıyorum.)
en baştaki özdeşliğe göre yeniden yazarsak (bu arada 2^4= 16 olduğundan 2^4n=16^n) bunlara göre:
2^lb^2(x+1) = (x+1)*2^12
x+1'i de yukarıya üs olarak çıkarmak için x+1= 2^lb(x+1) yazabiliriz:
2^lb^2(x+1) = 2^(12+lb(x+1)) => lb^2(x+1)=12+lb(x+1)
lb(x+1)=u dersek (bu durumda x = 2^u-1) ikinci dereceden bir denklem olduğu daha net gözükür:
u^2 - u - 12 = 0 => denklemin kökleri u_1 = 4, u_2 = -3
=> x_1 = 2^4-1 = 15, x_2 = 2^-3-1 = -7/8.